机器学习：线性回归模型(python)

符号

一、线性回归模型（Linear regression model）

（1）什么是线性回归模型

（2）线性回归模型的数学形式

理论

实践

二、成本函数（Cost function）

符号

以下是本文所需要用到的符号

符号描述 python（如果适用）

x 特征值 x_train

y 目标值 y_train

$x_{}^{(i)},y_{}^{(i)}$ 示例 x_i

m 示例数量 y_i

w 参数：权重 m

b 参数：偏移 n

$f_{w,b}(x_{}^{(i)})$ 模型预估值 f_wb

一、线性回归模型（Linear regression model）

（1）什么是线性回归模型

线性回归模型是一种用于建立输入和连续输出之间关系的模型。它假设输入和输出之间存在线性关系。该模型可以用于预测连续变量的值，例如房价、销售额、股票价格等。

（2）线性回归模型的数学形式

理论

线性回归的模型函数（这是一个从映射到的函数）表示为xy

$f_{w,b}(x_{}^{(i)})=wx_{}^{(i)}+b$

python中可表示为：

f_wb = w * x[i] + b

实践

# 导入numpy、matplotlib模块
import numpy as np
from matplotlib import pyplot as plt
# 设定特征值
x = np.array([1, 2, 3, 4, 5])
# 设定权重、偏移
w=1
b=0
# 设定线性回归函数
f_wb = w*x+b
# 绘制数据点
plt.scatter(x, f_wb)
# 绘制回归线
plt.plot(x, f_wb, color='red')
# 添加标题和标签
plt.title('Linear Regression')
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('f_wb')
# 显示图形
plt.show()

二、成本函数（Cost function）

（1）什么是成本函数

在线性回归模型中，成本函数（Cost function）通常采用最小二乘法（Least Square Method）来定义。

（2）成本函数的数学形式

理论

成本函数就是所有训练样本的预测值与实际值之间的误差平方和。

$J(w,b) = \frac{1}{2m}\sum\limits_{i=0}^{m-1}(f_{w,b}(x^{(i)})-y^{(i)})^2$

$(f_{w,b}(x^{(i)})-y^{(i)})^2$ ：目标值和预测之间的平方差。

$\sum\limits_{i=0}^{m-1}(f_{w,b}(x^{(i)})-y^{(i)})^2$ ：每个目标值和预测之间平方差的和

$J(w,b) = \frac{1}{2m}\sum\limits_{i=0}^{m-1}(f_{w,b}(x^{(i)})-y^{(i)})^2$ ：总的平均方差

请注意，求和范围通常从1到m，而代码将从0到m-1。

实践

由上图可以清晰看到随着w的变化，总的平均方差也在改变，因此可以通过梯度下降的方法最小化成本来改变w和b就可以得到一条与数据完美拟合的线

# 导入numpy、matplotlib模块
import numpy as np
from matplotlib import pyplot as plt
# 设定特征值
x_train = np.array([1, 2 , 3])
y_train = np.array([1, 2 , 3])
x = np.array([1, 2, 3])
# 设定权重
w=[]
for n in range(-1,6,1):
    w.append(n/2)
# 设定偏移
b=0
# 获取x（特征值）数量
m = len(x)
# 定义变量
cost_sum = 0
J_wb=[]
# 计算成本函数
for j in range(len(w)):
    for i in range(m):
        f_wb = w[j] * x[i] + b
        cost = (f_wb - y_train[i]) ** 2
        cost_sum = cost_sum + cost
    j_wb = (1 / (2 * (m+1))) * cost_sum
    cost_sum = 0
    J_wb.append(j_wb)
# 绘制成本函数点
plt.scatter(w, J_wb)
# 绘制成本函数线
plt.plot(w, J_wb, color='red')
# 添加标题和标签
plt.title('Cost function')
plt.xlabel('w')
plt.ylabel('J_wb')
# 显示图形
plt.show()