【算法竞赛刷题模板15】【二维数组前缀和】

0.总结

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二维数组前缀和
容斥原理

下面结合一道例题【洛谷】P2280 [HNOI2003]激光炸弹，来讲讲如何实现二维数组的前缀和。

1.题意

二维坐标中每个点都有一定的价值。求出坐标系中以某点作为边长m的正方形的右下角的最大价值。

2.思想

二维数组前缀和

这里的前缀指的是从(0,0) 到 (x,y)这个矩形区域，其和就是 s[x][y]
前缀和的推导公式
s[i][j] = s[i-1][j] + s[i][j-1]- s[i-1][j-1] + val[i][j]，其中s[0][j]和 s[i][0]需要单独判断

如果用图形表示的话，则是下面这个样子
s[i][j] =
在这里插入图片描述
s[i][j] =

s[i-1][j] =

s[i-1][j-1]=

val[i][j]=

综合表述，也就是下面这个样子：
在这里插入图片描述
棕色是绿色和紫色的重合部分。

在得到前缀和的基础上，针对题目要求适当变形即可

3.代码

#include<iostream>
using namespace std;
const int X = 5005,Y = 5005,N = 5005;
int s[N][N];//二维数组前缀和 
int res = 0;
int main(){
	int n,m;
	cin >> n>> m;
	int a,b,w,mx=0,my=0;
	for(int i =0;i < n;i++){
		cin >> a >> b >> w ;
		mx=max(mx,a);//求出坐标的最大值 
		my=max(my,b);
		s[a][b]+=w;//为节省空间，直接累加 
	}
	
	//1.计算前缀和 
	//01.单独计算s[0][j], s[i][0]
	//02.计算s[i][j] 	
	for(int i = 1;i<= max(mx,my);i++){
		s[i][0] = s[i-1][0] + s[i][0];
		s[0][i] =s[0][i-1] +  s[0][i];
	} 
	for(int i= 1;i<=max(mx,my);i++){
		for(int j = 1;j<=max(mx,my);j++){
			//因为s[i][j]尚未计算过，所以可以累加 
			s[i][j] += s[i-1][j] + s[i][j-1] - s[i-1][j-1] ; 
		}
	}
	
	//2.计算m个正方形内的和，以(i,j)为正方形的右下角
	//01.如果枚举左上角，则需要特判边界处理，所以更优的方法是枚举右下角 
	//02.注意这里的i,j的上限是max(mx,my),否则当m>mx时，就会出现问题。 
	for(int i = m-1;i<=max(mx,my);i++){
		for(int j = m-1;j<=max(mx,my);j++){
			int temp = s[i][j]
						- (j-m<0 ? 0: s[i][j-m]) //防止下标越界&简洁，用三元运算符 
						- (i-m<0 ? 0: s[i-m][j])
			 			+ ((i-m<0 || j-m<0)? 0:s[i-m][j-m]);
			res = max(res,temp);
		}
	} 
	cout << res <<"\n";
}

测试用例