AM@常用等价无穷小及其证明

abstract

• 介绍常用等价无穷小及其推导

• 等价无穷小和泰勒公式

  • 等价无穷小可以由泰勒公式推导(通用),通过泰勒公式的变形,可以获得各式各样的等价无穷小

  • 如果不使用泰勒公式,直接从极限的角度和函数的基本性质来证明,从中也可以学习到一些技巧,开阔思路

常用等价无穷一览👺

• $x\to 0$时的等价无穷小

  1. $x\sim \sin x\sim \tan x\sim \arcsin x\sim \arctan x\sim \ln (1+x)\sim e^x-1$
  2. $(1+x{)}^{\alpha }-1\sim \alpha x$;$(1-x{)}^{\alpha }-1\sim \alpha (-x)=-\alpha x$;$\sqrt[n]{1+x}-1\sim \frac{1}{n}x$,$\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}\sim x$
  3. $1-\cos x\sim \frac{1}{2}{x}^2$
  4. $a^x-1\sim x\ln a$
  5. ${\log }_a(1+x)\sim \frac{1}{\ln a}x$

• 以下3组函数各组内函数互为反函数

  • $\sin x,\arcsin x$,
  • $\tan x,\arctan x$
  • $\ln (x+1),e^x-1$
  • $a^x-1$,${\log }_a(1+x)$

• 末尾减1的两个等价无穷小

  • $(1+x{)}^{\alpha }-1\sim \alpha x$;(幂型)

  • $a^x-1\sim x\ln a$;(指数型)

派生和拓展

• 将上述公式中的$x$替换为无穷小$\alpha (x)$仍然成立
• $\cos x$=$1+(\cos x-1)$,$\cos x-1\to 0(x\to 0)$,从而$\ln (\cos x)$=$\ln (1+(\cos x-1))\sim \cos x-1$

幂指函数中常用等价无穷小

• 等价无穷小$\ln (1+x)\sim x(x\to 0)$的应用
  • $n\ln (1+\frac{1}{n})=\frac{\ln (1+\frac{1}{n})}{\frac{1}{n}}\to 1(n\to \infty )$
  • 种形式是:$\frac{1}{n}\ln (1+n)\to 1(n\to 0)$

小结

• 通常我们像把非多项式函数转换为多项式函数(${\sum }_{i=0}^n{a}_i{x}^i$,这里通常时$a_0{x}^n$型的),从而达到分子和分母的函数类别的统一以及在约分时提供方便
• 指数,对数,三角函数,反三角函数全部转为多项式函数

其他精度更高的等价无穷小

1. $x-\sin x\sim \frac{1}{6}{x}^3$
2. $\arcsin x-x\sim \frac{1}{6}{x}^3$
3. $x-\arctan x\sim \frac{1}{3}{x}^3$
4. $\tan x-x\sim \frac{1}{3}{x}^3$
5. $x-\ln (1+x)\sim \frac{1}{2}{x}^2$

• 连写:$x-\sin x\sim \arcsin x-x\sim \frac{1}{6}{x}^3$

  • $x-\arctan x\sim \tan x-x\sim \frac{1}{3}{x}^3$
  • 都可以通过泰勒公式推导,例如式1,式5,$\arcsin x,\arctan x,\tan x$的展开式相对用的少,但也建议记忆前2至三项,比等价无穷小更加灵活,利用它们,也可以直接推出上述式2,3,4

• 证明

  • 从验证和证明的角度(而不论推导由来),可以洛必达法则验证正确性
  • 例如$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x-\sin x}{x^3}$=$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1-\cos x}{3x^2}$=$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{6x}$=$\frac{1}{6}$,所以$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x-\sin x}{6x^3}=1$,即$x-\sin x\sim \frac{1}{6}{x}^3$
  • 令$t=\sin x$,则$x=\arcsin t$,代入式1,得$\arcsin t-t\sim \frac{1}{6}{\arcsin }^{3}t\sim \frac{1}{6}{t}^3$,即式3成立
  • 类似得可证式2,再推出式4

记忆技巧

• 有界性
  • $\cos x⩽1$,$\sin x⩽1$
  • 从而容易分清楚$1-\cos x\sim \frac{1}{2}{x}^2$ ;$\cos x-1\sim -\frac{1}{2}{x}^2$
• 不等式放缩$0^{+}$:
  • $\ln (1+x)<x$
  • $e^x-1⩾x$
  • $\frac{x}{2}<\frac{x}{1+x}<\ln (1+x)<x$
  • $\sin x<x<\tan x$
  • $\arctan x<x<\arcsin x(x\in (0,1])$
  • 根据这些大小关系(联想它们的图形曲线),可以判断$\sin x-x$或$x-\sin x$结果是正还是负
• 从记忆的角度,尤其是第1,2个,容易得到其他几个
• 对于等价无穷小式(1),(2),$[x-\sin x]\sim [\arcsin x-x]\sim \frac{1}{6}{x}^3$,即对$x,\sin x$分别取反正弦函数,得到$\arcsin x,x$它们的差也是和$\frac{1}{6}{x}^3$等价无穷小
• 对于(3,4),$[x-\tan x]\sim [\arctan x-x]\sim -\frac{1}{3}{x}^3$,即对$x,\tan x$分别取反正弦函数,得到$\arcsin x,x$它们的差也是和$-\frac{1}{3}{x}^3$等价无穷小
• 例:$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\arcsin x-\arctan x}{\sin x-\tan x}$=$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{(\arcsin x-x)-(\arctan x-x)}{\sin x-\tan x}$=$\underset{x\to x}{\lim }\frac{\frac{1}{6}{x}^3+\frac{1}{3}{x}^3}{\tan x(\cos x-1)}$=$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\frac{1}{2}{x}^3}{x(-\frac{1}{2}{x}^2)}$=$-1$

常用的等价无穷小和推导👺

1. $\sin (x)\sim x$

   • $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin (x)}{x}=1$;第一重要极限

2. $\tan (x)\sim x$

   • $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x\cos x}$=$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x}\frac{1}{\cos x}$=$1\cdot \underset{x\to 0}{\lim }(\frac{1}{\cos x})$=$\frac{\underset{x\to 0}{\lim }1}{\underset{x\to 0}{\lim }\cos (x)}=1$

3. $\arcsin (x)\sim x$

   • 令$t=\arcsin (x),x=\sin (t)$,$t\to 0(x\to 0)$,$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\arcsin (x)}{x}$=$\underset{t\to 0}{\lim }\frac{t}{\sin (t)}=1$

4. $\arctan (x)\sim x$

   • 令$t=\arctan (x)$,$x=\tan (t)$;$t\to 0(x\to 0)$
   • $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\arctan (x)}{x}$=$\underset{t\to 0}{\lim }\frac{t}{\tan (t)}=1$

5. $\ln (1+x)\sim x$

   • 利用对数性质和第二重要极限证明
     • $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\ln (1+x)}{x}$=$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1}{x}\ln (1+x)$=$\underset{x\to 0}{\lim }\ln [(1+x{)}^{\frac{1}{x}}]$
       • =$\underset{u\to e}{\lim }\ln u=\ln e=1$

6. ${\log }_a(1+x)\sim \frac{1}{\ln (a)}x$

   • 根据换底公式${\log }_{a}e=\frac{\ln (e)}{\ln (a)}=\frac{1}{\ln (a)}$

   • $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{{\log }_a(1+x)}{x}$=$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1}{x}{\log }_a(1+x)$=$\underset{x\to 0}{\lim }{\log }_a((1+x{)}^{\frac{1}{x}})={\log }_a(e)=\frac{1}{\ln (a)}$

   • 所以:${\log }_a(1+x)\sim \frac{1}{\ln (a)}x$

7. $e^x-1\sim x$

   • 换元法:令$t=e^x-1$;则$x=\ln (t+1)$

   • $t=(e^x-1)\to 0(x\to 0)$;$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{e^x-1}{x}$=$\underset{t\to 0}{\lim }\frac{t}{\ln (t+1)}$=$\underset{t\to 0}{\lim }\frac{t}{t}$=1

8. $(a^x-1)\sim x\ln a$

   • 方法1:

     • $a^x-1$=$e^{x\ln a}-1$ $\sim$ $x\ln a$

   • 方法2:

     • 令$t=a^x-1$;$t\to 0(x\to 0)$;$x={\log }_a(t+1)$

     • 应用:${\log }_a(1+t)\sim \frac{1}{\ln (a)}t$代换:$S=\underset{t\to 0}{\lim }\frac{t}{{\log }_a(t+1)}$=$\underset{t\to 0}{\lim }\frac{t}{\frac{1}{\ln a}t}$=$\ln a$

9. $1-\cos (x)\sim \frac{1}{2}{x}^2$

   • $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1-\cos (x)}{x^2}$=$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{2{\sin }^2(\frac{x}{2})}{x^2}$=$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{2(\frac{x}{2}{)}^2}{x^2}$=$\frac{1}{2}$

10. $(1+x{)}^a-1\sim ax$

• 方法1:利用换底公式,复合函数极限运算法则和已知的几组等价无穷小

  • $(1+x{)}^a$=$e^{\ln (1+x{)}^a}$=$e^{\ln (1+x{)}^a}$=$e^{a\cdot \ln (1+x)}$,从而需要被证明的命题变为:$e^{a\cdot \ln (1+x)}-1\sim ax$(1)

  • 由$e^x-1\sim x$得$e^{a\cdot \ln (x+1)}-1\sim a\cdot \ln (x+1)$(2)

  • 再由$\ln (x+1)\sim x$,得$a\ln (x+1)\sim ax$(3),代入(2)

  • 从而(1)成立,即命题成立

• 方法2:用代换法和$\ln (1+x)\sim x$推导

  • 令$t=(1+x{)}^a-1;即,(1+x{)}^a=t+1$,则$\ln (1+x{)}^a=\ln (t+1)$
  • $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{(1+x{)}^a-1}{x}\frac{\ln (1+x{)}^a}{\ln (1+x{)}^a}$= $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{(1+x{)}^a-1}{x}\frac{a\cdot \ln (1+x)}{\ln (1+x{)}^a}$=$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{(1+x{)}^a-1}{\ln (1+x{)}^a}\frac{a\cdot \ln (1+x)}{x}$
  • =$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{(1+x{)}^a-1}{\ln (1+x{)}^a}\cdot$ $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{a\cdot \ln (1+x)}{x}$
  • $=$$\underset{t\to 0}{\lim }\frac{t}{\ln (t+1)}$ $\cdot$ $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{a\cdot \ln (1+x)}{x}$=$1\times a=a$

• $\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}\sim x$

  • 方法1:泰勒展开$\sqrt{1+x}$=$1+\frac{1}{2}x+o(x)$;$\sqrt{1-x}$=$1-\frac{1}{2}x+o(x)$,从而$\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}\sim x$=$x+o(x)\sim x$
  • 方法2:$(\sqrt{1+x}-1)-(\sqrt{1-x}-1)$,两个括号内分别和$\frac{1}{2}x,-\frac{1}{2}x$,并且$\frac{1}{2}x,-\frac{1}{2}x$不等价,因此$(\sqrt{1+x}-1)-(\sqrt{1-x}-1)\sim \frac{1}{2}x-(-\frac{1}{2}x)=x$

例

• 例:设$\cos x-1=x\sin \alpha (x)$(1),其中$|\alpha (x)|<\frac{\pi }{2}$(2),则当$x\to 0$时,$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\alpha (x)}{x}$

• 方法1:纯等价无穷小法及其推广用法求解

  • $x\to 0$时:
    • $\cos x-1\sim x\sin \alpha (x)$,
    • 因为$\cos x-1\sim -\frac{1}{2}{x}^2$,所以$-\frac{1}{2}{x}^2\sim x\sin \alpha (x)$,即$-\frac{1}{2}x\sim \sin \alpha (x)$
    • 因为$\arcsin x\sim x$又由于(2),得$\arcsin (-\frac{1}{2}x)\sim \alpha (x)$
    • 又$\arcsin (-\frac{1}{2}x)\sim -\frac{1}{2}x$,从而$\alpha (x)\sim -\frac{1}{2}$

• 方法2:构造合适的函数求极限

  • 题目要求探究$\alpha (x)$和$x$的无穷小关系,这里先尝试探究$\sin \alpha (x)$和$x$的无穷小关系,再由等价无穷小替换$\sin x\sim x$的推广应用:$\sin \alpha (x)\sim \alpha (x)$得$\alpha (x)$和$x$的无穷小关系

  • 令$f(x)=\frac{\sin \alpha (x)}{x}$,由(1),得$f(x)=\frac{\cos x-1}{x^2}$

  • $\underset{x\to 0}{\lim }f(x)$=$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\cos x-1}{x^2}$=$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{-\frac{1}{2}{x}^2}{x^2}$=$-\frac{1}{2}$,说明$\sin \alpha (x)$和$x$是同阶无穷小

  • $\underset{x\to 0}{\lim }\sin \alpha (x)=0$,说明$x\to 0$时$\alpha (x)\to 2k\pi$,$k\in \mathbb{Z}$,由(2),$\alpha (x)\to 0$

  • $\underset{x\to 0}{\lim }f(x)$=$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\alpha (x)}{x}$=$-\frac{1}{2}$