非线性之描述函数法

【自控笔记】非线性系统&描述函数法

一、非线性系统概述

一般来说，系统的非线性部分在一定条件下可以线性化处理，并可以应用线性理论研究的系统称为非本质非线性系统；若非线性部分线性化后误差较大，无法用线性理论来分析的系统称为本质非线性系统。

二、非线性系统的特点

首先，非线性系统区别于线性系统的最大特点是不满足叠加定理。
其次，非线性系统的响应受初始条件或外作用影响。
第三，由于非线性系统的响应不是唯一的，故不存在系统是否稳定的笼统概念。
第四，非线性系统在外作用为零的情况下，可能会产生一定频率和振幅的周期运动，并且这种周期运动稳定，称为自激振荡。

三、描述函数法

描述函数，即为非线性环节的近似等效频率特性，记为$N(A)$。

应用描述函数法分析非线性系统应具备三个条件：
1、非线性系统可以简化为一个非线性环节$N(A)$和一个线性部分$G(s)$串联的典型结构。如下图所示：

2、非线性环节$N(A)$满足奇对称性，即y(x)=-y(-x)，以保证非线性环节的正弦响应不含有直流分量。

3、系统的线性部分$G(s)$具有良好的低通滤波特性。一般来说$G(s)$的阶次越高，低通滤波性能越好。

根据典型结构图知，系统的闭环特征方程为$$1+N(A)G(j\omega )=0$$
即$$G(j\omega )=-\frac{1}{N(A)}$$

分别绘制$-\frac{1}{N(A)}$与$G(j\omega )$的幅相特性曲线可进行自振分析。

如上所示，$-\frac{1}{N(A)}$与$G(j\omega )$相交于M、N两点。

N点不是自振点：当质点从稳定区经过N点进入不稳定区时，在不稳定区发散，振幅不断增加，远离N点。

M点是自振点：当质点从不稳定区经过M点进入稳定区时，在不稳定区发散，振幅不断增加，质点越过M点进入稳定区；在稳定区，振幅收敛又回到不稳定区，循环往复形成周期自振运动。

此外，当$-\frac{1}{N(A)}$轨迹完全落在不稳定区内，则非线性系统发散，不稳定。当$-\frac{1}{N(A)}$轨迹完全落在稳定区内，则非线性系统收敛，系统稳定。