1的平方加2的平方一直加到n的平方

今天写一个算法题要计算某一表达式运行次数，一下子忘记了1的平方加2的平方一直加到n的平方的计算公式了，决定自己推导一下，于是发现可以有如下思路，记录如下：

S_n = 1² + 2² + 3² + …… + n²，求S_n

对S_n使用类似求导的思路（具体应该这个玩意儿不叫求导），发现函数的变化率为：

S^’_n = 2*1 + 2*2 + 2*3 + …… + 2*n = n(n+1)

于是发现S_n的导数是一个二次式，我们不妨假设S_n的表达式为：

S_n = a*n³ + b*n² + c*n + d

将下列的四个结果代入解析式，去求a,b,c,d

n = 1,S_n = 1;
n = 2,S_n = 5;
n = 3,S_n = 14;
n = 4,S_n = 30;

最后求得：

a = 1/3
b = 1/2
c = 1/6
d = 0

于是得到：

S_n = (1/3)*n³ + (1/2)*n² + (1/6)*n

最后再用假设演绎法推论当n = n+1 时也满足就行了