素数p阶群乘法循环群啥意思_如何证明素数阶群都是abel群？

这个证明需要分两步：

1.首先证明素数阶群都是循环群

2.其次证明循环群一定是abel群

我先来证明1，过程如下：

首先我们假设p为任意素数，存在一个群G，群G的阶数是|G|=p。

根据拉格朗日定理我们知道，G的所有元素的阶都可以被p整除，这里的关键点就出来了，因为素数只能整除自己，所以我们可以知道这个拉格朗日定理要发挥作用了，所有的群元的阶都只可能是p或者1，因为1也可以被p整除。

所以，我们任取群元a∈G，那么a的阶要么是1要么是p,若a≠1,则这个时候a的阶是p。

所以，我们有a^p=1。而且，这个时候a的自我乘积a、a^2、a^3…a^(p-1)∈G。(这里是因为在群的乘法表里，a可以自己与自己相乘，必须等于另外一个群元，这个群元我们记为a^2，a^2是一个新的群元，这个新群元还可以与a有群乘法，所以一直下来就是这个结果。)

因为前面我们已经说了|G|=p，所以最后逼出G={1,a,a^2…a^(p-1)}。这就完全证明了G是一个循环群。

然后呢？我们很容易证明2，因为循环群是abel群是肉眼就可以看出来的，非常简单。

综上所述，我们就证明了，素数阶群一定是abel群。