拉格朗日中值定理推论及用法

由拉格朗日中值定理得以下两个推论：

推论1

若$f(x)$在$(a,b)$内可导，$f^{\prime }(x)\equiv 0$，则$f(x)$在$(a,b)$内为常数。

证明：对于$(a,b)$内的任意两点$x_1<x_2$，$\exists \xi \in (x_1,x_2)$使得$f(x_1)-f(x_2)=f^{\prime }(\xi )(x_1-x_2)=0$，所以$f(x)$在$(a,b)$内为常数。

推论2

若$f^{\prime }(x)=g^{\prime }(x)$，则$f(x)=g(x)+C$

证明：令$h(x)=f(x)-g(x)$，则$h^{\prime }(x)=f^{\prime }(x)-g^{\prime }(x)=0$，由推论1得$h(x)$为常数，得证$f(x)=g(x)+C$

会用到这些推论的问题一般是证明含有一个或若干个函数的恒等式成立。

例1

证明：$\forall x\in [-1,1]$，$\arcsin x+\arccos x=\frac{\pi }{2}$成立。

证：
\qquad 令$f(x)=\arcsin x+\arccos x$，$g(x)=\frac{\pi }{2}$

$f^{\prime }(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}=0$，$g^{\prime }(x)=0$

\qquad 即$f(x)=g(x)+C$

\qquad 代入$x=0$，$f(0)=0+\arccos 0=\frac{\pi }{2}$，$g(0)=\frac{\pi }{2}$

\qquad 所以$C=0$，即$f(x)=g(x)$，得证$\arcsin x+\arccos x=\frac{\pi }{2}$

例2

证明：$\forall x\in R$，$\arctan x+\text{arccot }x=\frac{\pi }{2}$成立。

证：
\qquad 令$f(x)=\arctan x+\text{arccot }x$，$g(x)=\frac{\pi }{2}$

$f^{\prime }(x)=\frac{1}{1+x^2}-\frac{1}{1+x^2}=0$，$g^{\prime }(x)=0$

\qquad 即$f(x)=g(x)+C$

\qquad 代入$x=0$，$f(0)=0+\text{arccot }x=\frac{\pi }{2}$，$g(0)=\frac{\pi }{2}$

\qquad 所以$C=0$，即$f(x)=g(x)$，得证$\arctan x+\text{arccot }x=\frac{\pi }{2}$

总结

构造函数$f(x),g(x)$，证明$f^{\prime }(x)=g^{\prime }(x),f(x)=g(x)+C$，代入特殊值求$C$的值，即可解决此类问题。