主成分分析法及spss实现

1.概述

主成分分析（Principal Component Analysis，PCA）是一种降维算法，它能将多个指标转换为少数几个主成分，这些主成分是原始变量的线性组合，且彼此之间互不相关，其能反映出原始数据的大部分信息。一般来说，当研究的问题涉及到多变量且变量之间存在很强的相关性时，我们可考虑使用主成分分析的方法来对数据进行简化。
降维是将高维度的数据（指标太多）保留下最重要的一些特征，去除噪声和不重要的特征，从而实现提升数据处理速度的目的。在实际的生产和应用中，降维在一定的信息损失范围内，可以为我们节省大量的时间和成本。降维也成为应用非常广泛的数据预处理方法。
降维具有如下一些优点：
1）.使得数据集更易使用；
2）.降低算法的计算开销；
3）.去除噪声；
4）.使得结果容易理解

2.主成分分析原理及计算步骤

2.1主成分分析原理

假设有n个样本，m个指标，则可以构成大小为n*m的样本矩阵X：

假设我们相找到新的一组变量y1,y2…yp(p<=m)，且他们满足

系数lij的确定原则：
（1）yi和yj（i≠j;i,j=1,2,…,p）相互无关；
（2）y1是的一切线性组合中方差最大者；
（3）y2是与y1不相关的的一切线性组合中方差最大者；
（4）依次类推，yp是与y1,y2,…yp-1不相关的的一切线性组合中方差最大者；
新变量指标y1,y2,…yp称为的主成分。
2.2 主成分分析计算步骤
假设有n个样本，m个指标，则可以构成大小为n*m的样本矩阵X：

（1）数据标准化处理

其中，为原始X矩阵平均值，为原始X矩阵标准差，为标准化处理后元素。
（2）计算标准化样本的协方差矩阵：

（3）计算R的特征值和特征向量：
计算得出特征值λ1，λ2…λm，特征向量a1,a2…am
特征值计算链接：https://blog.csdn.net/weixin_42260102/article/details/102896371
（4）计算主成分贡献率以及累计贡献率：

（5）写出主成分
一般取累计贡献率超过80%的特征值所对应的第一、第二、…、第m(m≤p)个主成分。第i个主成分:F=a1X1+a2X2…·十aiXi，(i=1,2,·,m)

3.SPSS实现

（1）数据收集：数据来源于国家统计局官网

（2）数据预处理：填补或去除缺项，并进行标准化处理。

（3）导入SPSS：进入SPSS，打开相关数据文件

（4）主成分分析：选择“分析”|“降维”|“因子”命令。选择进行因子分析的变量。在“因子分析”对话框的左侧列表框中，依次选择需要进行主成分分析的变量进入“变量”列表框。并选择想要输出的一系列参数，保存，点击【确定】。

（5）分析结果展示：成分矩阵下表为成分矩阵，表明各个成分在各个变量上的载荷，从而可以得出各主成分的表达式。输出参数为各原变量系数。